Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?
Este problema avalia a capacidade de montar e resolver um sistema de equações a partir de uma situação de proporcionalidade inversa entre número de parcelas e valor de cada parcela.
Seja P o preço do automóvel e x o valor de cada parcela no plano original de N parcelas. Como não há juros, temos:
P = N \cdot x \implies x = \frac{P}{N}
Com 5 parcelas a mais (N + 5), o valor de cada parcela cai R$ 200:
\frac{P}{N+5} = \frac{P}{N} - 200 \implies \frac{P}{N} - \frac{P}{N+5} = 200 \implies \frac{5P}{N(N+5)} = 200
Portanto: P = 40N(N+5) \quad \text{(I)}
Com 4 parcelas a menos (N − 4), o valor de cada parcela sobe R$ 232:
\frac{P}{N-4} = \frac{P}{N} + 232 \implies \frac{4P}{N(N-4)} = 232
Portanto: P = 58N(N-4) \quad \text{(II)}
Igualando (I) e (II) e dividindo por N (N \neq 0):
40(N+5) = 58(N-4)
40N + 200 = 58N - 232
432 = 18N \implies N = 24
Verificação: com N = 24, temos P = 40 \cdot 24 \cdot 29 = 27{.}840, logo x = \frac{27840}{24} = 1{.}160. Para 29 parcelas: \frac{27840}{29} = 960 = 1160 - 200 ✓. Para 20 parcelas: \frac{27840}{20} = 1392 = 1160 + 232 ✓.
Portanto, a quantidade inicial de parcelas é 24.
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