Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
• Urna A — Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; • Urna B — Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; • Urna C — Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; • Urna D — Possui três bolas brancas e três bolas pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:
• Opção 1 — Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 2 — Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; • Opção 3 — Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 4 — Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; • Opção 5 — Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
Esta questão avalia probabilidade condicional e probabilidade total, exigindo o cálculo da probabilidade de retirar duas bolas pretas em cada opção e comparar os resultados.
Opção 1 — Urna A (3 brancas, 2 pretas, 1 verde = 6 bolas):
P = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067
Opção 2 — Urna B (6 brancas, 3 pretas, 1 verde = 10 bolas):
P = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067
Opção 3 — Transferir 1 bola da Urna C (2 pretas, 2 verdes) para a Urna A, depois retirar 2 da Urna A:
Se a bola transferida for preta \left(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\right), a Urna A fica com 3 pretas em 7 bolas: P = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}. Se for verde \left(P = \frac{1}{2}\right): P = \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{21}.
P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{21} = \frac{3}{42} + \frac{1}{42} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21} \approx 0{,}095
Opção 4 — Transferir 1 bola da Urna D (3 brancas, 3 pretas) para a Urna C, depois retirar 2 da Urna C:
Se preta \left(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\right), Urna C fica com 3 pretas em 5: P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}. Se branca \left(P = \frac{1}{2}\right): P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}.
P_4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{20} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}20
Opção 5 — Transferir 1 bola da Urna C (2 pretas, 2 verdes) para a Urna D, depois retirar 2 da Urna D:
Se preta \left(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\right), Urna D fica com 4 pretas em 7: P = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{7}. Se verde \left(P = \frac{1}{2}\right): P = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}.
P_5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{14} + \frac{1}{14} = \frac{3}{14} \approx 0{,}214
Comparando as probabilidades: \frac{1}{15} \approx 0{,}067 < \frac{2}{21} \approx 0{,}095 < \frac{1}{5} = 0{,}200 < \frac{3}{14} \approx 0{,}214.
A Opção 5 apresenta a maior probabilidade de sucesso \left(\frac{3}{14}\right), pois transferir uma bola da Urna C — que contém apenas bolas pretas e verdes — para a Urna D amplia significativamente a proporção de bolas pretas numa urna que já era favorável.
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