A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
4\pi
8\pi
48\pi
64\pi
— Gabarito (resposta correta)192\pi
Esta questão avalia o conceito de coroa circular (área entre dois círculos concêntricos) aliado ao Teorema de Pitágoras e à propriedade da reta tangente.
Sejam R o raio da praça (círculo externo) e r o raio do chafariz (círculo interno). A área do passeio é a área da coroa circular:
\text{Área} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)
A trena esticada pelo engenheiro forma uma corda AB do círculo externo que é tangente ao círculo interno. Como a reta é tangente ao chafariz, o raio r é perpendicular ao segmento AB no ponto de tangência M, que é exatamente o ponto médio de AB.
Assim, AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{16}{2} = 8 \text{ m}.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OMA (onde O é o centro, OM = r e OA = R):
R^2 = r^2 + AM^2
R^2 - r^2 = 8^2 = 64
Portanto, a área do passeio é:
\text{Área} = \pi(R^2 - r^2) = 64\pi \text{ m}^2
A elegância da solução está no fato de que não é necessário conhecer R e r individualmente — a única medida necessária é a metade da corda tangente ao círculo interno, o que o engenheiro obteve com uma única medição de 16 m.
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