Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1/5.
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
Esta questão avalia probabilidade clássica combinada com raciocínio algébrico.
Em um tabuleiro n \times n, o número total de casas é n^2. Após posicionar a primeira peça, restam n^2 - 1 casas disponíveis para a segunda peça.
A zona de combate da primeira peça é formada por todas as casas da mesma linha e da mesma coluna. A linha tem n casas e a coluna tem n casas, mas a casa ocupada pela peça é contada nas duas, portanto a zona de combate possui n + n - 1 = 2n - 1 casas no total.
Como a casa da primeira peça já está ocupada, sobram 2n - 2 = 2(n-1) casas da zona de combate disponíveis para a segunda peça.
A probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate é:
P = \frac{2(n-1)}{n^2 - 1} = \frac{2(n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{n+1}
Para que P < \dfrac{1}{5}, precisamos:
\frac{2}{n+1} < \frac{1}{5} \implies 10 < n+1 \implies n > 9
Portanto, o menor inteiro que satisfaz a condição é n = 10. Para n = 9, teríamos P = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}, que não é estritamente menor que \dfrac{1}{5}. Para n = 10, P = \dfrac{2}{11} < \dfrac{1}{5}. ✓
A dimensão mínima é 10 × 10.
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