Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
C_{12}^{4} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{2}
C_{12}^{4} + C_{8}^{3} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}
C_{12}^{4} \times 2 \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3}
C_{12}^{4} + 2 \times C_{8}^{3} + C_{12}^{2}
C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}
— Gabarito (resposta correta)A questão avalia o uso de combinações para contar agrupamentos em que a ordem de escolha de cada grupo não importa, mas as posições dos vagões (que já vêm numeradas de 1 a 12) precisam ser distribuídas entre as cores.
Como os 12 vagões ocupam posições fixas e crescentes, montar um trem equivale a decidir quais posições serão vermelhas, quais serão azuis, quais serão verdes e quais serão amarelas. Isso é feito escolhendo sucessivamente subconjuntos de posições dentre as que ainda restam:
Primeiro escolhem-se 4 das 12 posições para a cor vermelha: C_{12}^{4}.
Em seguida, dentre as 8 posições restantes, escolhem-se 3 para a cor azul: C_{8}^{3}.
Depois, das 5 posições que sobraram, escolhem-se 3 para a cor verde: C_{5}^{3}.
Por fim, restam exatamente 2 posições, que devem ser da cor amarela: C_{2}^{2}.
Como as escolhas são sucessivas e cada etapa depende do resultado da anterior, pelo princípio multiplicativo o total de trens possíveis é
C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}
que corresponde à alternativa correta.
As demais alternativas erram por trocar a multiplicação pela soma (o que subestima o total, pois soma em vez de combinar etapas dependentes), por usar o mesmo total de vagões 12 em todos os fatores (ignorando que o número de posições disponíveis diminui a cada escolha) ou por inserir fatores de 2 que não correspondem a nenhuma etapa real do processo de distribuição das cores.
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