Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
O conceito avaliado é análise combinatória, especificamente contagem com restrição e correção de contagens repetidas.
Sem nenhuma restrição, o número de maneiras de dividir 8 pessoas em 4 duplas (duplas indistinguíveis entre si) é:
\dfrac{8!}{(2!)^4 \cdot 4!} = 105
Agora é preciso excluir os casos em que os dois canhotos ficam na mesma dupla, pois isso é proibido. Se os dois canhotos formam uma dupla fixa, restam 6 pessoas para formar as outras 3 duplas, o que pode ser feito de:
\dfrac{6!}{(2!)^3 \cdot 3!} = 15
maneiras. Assim, o total de configurações válidas é a diferença entre o total sem restrição e os casos proibidos:
105 - 15 = 90
Logo, existem 90 maneiras diferentes de formar as quatro duplas sem que os dois canhotos joguem juntos.
As demais alternativas surgem de erros comuns: esquecer de dividir pela permutação das duplas (gerando contagens maiores como 105, que é justamente o total sem a restrição), ou aplicar incorretamente a correção pelos canhotos, levando a valores como 69, 70 ou 104.
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