O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é \frac{1}{2}. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a \frac{99}{100}.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é
A questão explora o conceito de probabilidade do evento complementar aplicado a eventos independentes. Se a chance de um motorista perceber uma única placa é \frac{1}{2}, a chance de não perceber essa placa também é \frac{1}{2}.
Considerando que já existe uma placa instalada e que serão acrescentadas n novas placas, o total de placas na estrada passa a ser n+1. Como a percepção de cada placa é independente, a probabilidade de o motorista não perceber nenhuma delas é o produto das probabilidades individuais de não perceber cada uma:
P(\text{nenhuma percebida}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
A probabilidade de perceber pelo menos uma placa é o complementar desse evento:
P(\text{pelo menos uma}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
O dono do restaurante quer que essa probabilidade seja superior a \frac{99}{100}, ou seja:
1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} > \frac{99}{100} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} < \frac{1}{100} \quad \Rightarrow \quad 2^{n+1} > 100
Testando valores de n+1: 2^6 = 64 (insuficiente) e 2^7 = 128 (satisfaz a condição). Logo, o menor valor possível é n+1 = 7, o que dá n = 6.
Assim, é necessário instalar no mínimo 6 novas placas para que a probabilidade de o motorista perceber ao menos uma delas (somando à placa já existente) ultrapasse \frac{99}{100}.
As demais alternativas surgem de erros comuns: confundir o expoente com o numerador da fração \frac{1}{100} (levando a 99, 51 ou 50) ou considerar apenas uma placa nova sem aplicar a potência corretamente.
Todas as questões do ENEM · Simulado ENEM — questões com gabarito e explicação, grátis e sem cadastro.
