O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo \sqrt{X}, o terceiro \sqrt[3]{X}, o quarto X^2 e o último X^3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH?
A questão avalia a compreensão de potenciação com expoentes fracionários e inteiros aplicada a um número real entre 0 e 1.
Como 0 < X < 1, elevar X a expoentes maiores que 1 diminui seu valor, enquanto extrair raízes (expoentes menores que 1) aumenta seu valor. Isso ocorre porque, para uma fração entre 0 e 1, multiplicá-la por ela mesma repetidamente a torna cada vez menor.
Reescrevendo cada índice como potência de X:
X^1, \quad X^{1/2}, \quad X^{1/3}, \quad X^2, \quad X^3
Como 0 < X < 1, quanto menor o expoente, maior o valor da potência. Ordenando os expoentes do menor para o maior:
\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 3
Logo, o maior valor de IDH corresponde ao menor expoente, que é \frac{1}{3}, referente a \sqrt[3]{X}, o índice do terceiro país.
As demais alternativas seguem a mesma lógica: o segundo país (\sqrt{X}) tem expoente \frac{1}{2}, maior que \frac{1}{3}, logo seu IDH é menor; o primeiro país tem expoente 1; e o quarto e o quinto, com expoentes 2 e 3, têm os menores IDHs, pois são os que mais reduzem o valor de X.
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