Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?
A questão avalia distância entre pontos no plano cartesiano e interpretação de condições simultâneas (intersecção de regiões circulares).
Cada usuário só forma match em um bar se a distância entre o bar e sua posição for menor ou igual ao seu próprio raio de abrangência, já que ambos precisam estar dentro da região comum aos dois círculos. Usando a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
calcula-se a distância de cada bar até Q, R e S, comparando com os raios 3 km, 2 km e 5 km, respectivamente.Para o bar localizado em (5,6): a distância até Q(3,7) é \sqrt{(5-3)^2+(6-7)^2}=\sqrt{5}\approx2{,}24\text{ km}, menor que 3 km; a distância até R(6,7) é \sqrt{(5-6)^2+(6-7)^2}=\sqrt{2}\approx1{,}41\text{ km}, menor que 2 km; e a distância até S(5,3) é \sqrt{(5-5)^2+(6-3)^2}=3\text{ km}, exatamente igual ao raio de 3 km de P (o limite "menor ou igual" é satisfeito). Assim, esse bar atende simultaneamente às três condições.
Nos demais bares, ao repetir o cálculo, a distância até R sempre ultrapassa 2 km, o que impede o match simultâneo com os três usuários.
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