Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?
Essa questão avalia o conceito de probabilidade condicional através do Teorema de Bayes.
Sabe-se que P(I) = 0{,}20 (inconsistente) e P(I^c) = 0{,}80 (consistente). A probabilidade de fraude dado cada evento é P(F \mid I) = 0{,}25 e P(F \mid I^c) = 0{,}0625.
Pelo teorema da probabilidade total, calcula-se a probabilidade de uma declaração ser fraudulenta:
P(F) = P(F \mid I)\cdot P(I) + P(F \mid I^c)\cdot P(I^c)
P(F) = 0{,}25 \times 0{,}20 + 0{,}0625 \times 0{,}80 = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}10
Agora, aplica-se o Teorema de Bayes para inverter a condicional e encontrar a probabilidade de a declaração ser inconsistente dado que é fraudulenta:
P(I \mid F) = \frac{P(F \mid I)\cdot P(I)}{P(F)} = \frac{0{,}05}{0{,}10} = 0{,}5000
Portanto, a probabilidade é 0,5000, o que corresponde à alternativa correta.
Os demais valores surgem de erros comuns, como calcular apenas P(F \mid I)\cdot P(I) sem dividir pela probabilidade total de fraude, ou confundir a condicional direta P(F \mid I) com a condicional invertida P(I \mid F) que a questão pede.
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