Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.
A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é
O problema aplica conservação de volume em vasos comunicantes, considerando também a água que preenche os canos de ligação (detalhe essencial para chegar ao valor exato).
O volume inicial de água está todo no reservatório central, um cilindro de raio 2 m e altura 3,30 m:
V_c = \pi r_c^2 h_c = \pi (2)^2 (3{,}30) = 13{,}2\pi \text{ m}^3
Quando os registros abrem, essa água se redistribui entre o reservatório central, os quatro auxiliares (cada um com raio 1,5 m) e os quatro canos de ligação (raio 0,05 m e comprimento 20 m, que ficam completamente cheios por estarem próximos às bases). O volume de cada cano é constante, independente de h:
V_{cano} = \pi (0{,}05)^2 (20) = 0{,}05\pi \text{ m}^3
Como todas as colunas atingem a mesma altura h, a conservação de volume fica:
13{,}2\pi = h\left[\pi(2)^2 + 4\pi(1{,}5)^2\right] + 4(0{,}05\pi)
13{,}2\pi = h(4\pi + 9\pi) + 0{,}2\pi
13{,}2 = 13h + 0{,}2
h = \dfrac{13}{13} = 1{,}00 \text{ m}
Portanto, a altura da coluna de água em cada reservatório auxiliar é 1,00 m. As demais alternativas surgem de erros comuns, como ignorar o volume de água contido nos canos ou trocar o raio pelo diâmetro nos cálculos de área.
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