Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.
A função h(t)=4+4\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2}-\frac{\pi}{2}\right), definida para t\geq 0, descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.
O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
A questão avalia periodicidade de funções trigonométricas aplicada a um contexto físico. A condição pede o menor inteiro positivo \beta tal que, em t<4 segundos, a altura atinja o valor 6 cm três vezes.
Igualando a função a 6:
4+4\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=6 \implies \operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}
Chamando \theta=\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}, as soluções de \operatorname{sen}(\theta)=\dfrac{1}{2} em ordem crescente, usando \pi\approx3, são:
\theta=\frac{\pi}{6}=0{,}5;\quad \theta=\frac{5\pi}{6}=2{,}5;\quad \theta=\frac{13\pi}{6}=6{,}5;\ \ldots
Como t=0 corresponde a \theta=-\dfrac{\pi}{2}=-1{,}5, o intervalo 0\le t<4 corresponde a -1{,}5\le\theta<2\beta-1{,}5. Para que a terceira solução (\theta=6{,}5) esteja dentro desse intervalo, é preciso que:
2\beta-1{,}5>6{,}5 \implies \beta>4
Como \beta deve ser inteiro, o menor valor possível é \beta=5. Testando esse valor, obtêm-se os instantes t=0{,}8, t=1{,}6 e t=3{,}2 segundos, todos menores que 4 segundos, confirmando as três ocorrências exigidas. Com \beta=4, a terceira ocorrência aconteceria exatamente em t=4 segundos, o que não satisfaz a exigência de ser em menos de 4 segundos, tornando esse valor insuficiente. Valores menores de \beta (1 ou 2) tornam o período ainda maior, reduzindo o número de ocorrências no intervalo, e portanto também não atendem à condição.
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