Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a
O conceito avaliado é semelhança de figuras geométricas e escalas. O troféu original tem base quadrada de 50 cm × 50 cm e altura total de 100 cm.
A caixa de vidro tem base interna de 8 cm × 10 cm, e a base do troféu deve ficar a pelo menos 1 cm de cada parede lateral. Isso limita o espaço disponível para a base da miniatura em cada direção:
Na direção de 8 cm: 8 - 2 \times 1 = 6 cm disponíveis.
Na direção de 10 cm: 10 - 2 \times 1 = 8 cm disponíveis.
Como a base original é quadrada (50 cm × 50 cm), a base da miniatura também será quadrada com lado 50k, onde k é o fator de escala. Para a miniatura caber em ambas as direções, o lado deve respeitar o menor espaço disponível:
50k \leq \min(6,\, 8) = 6 \implies k \leq \frac{6}{50} = \frac{3}{25}
Para a maior miniatura possível, usa-se k = \dfrac{3}{25}.
A altura da miniatura será:
\text{altura}_{miniatura} = 100 \times \frac{3}{25} = 12 \text{ cm}
A caixa deve ter ainda 2 cm entre o topo da esfera e a tampa, portanto a altura interna da caixa é:
h_{caixa} = 12 + 2 = 14 \text{ cm}
As alternativas que resultam em 12 cm ou 16 cm decorrem de desconsiderar a restrição de 2 cm da tampa ou de usar apenas uma das dimensões da base. As demais (18 cm e 20 cm) correspondem a escalas ainda maiores, que não cabem na caixa respeitando a folga mínima de 1 cm nas laterais.
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