Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
Esta questão avalia contagem de caminhos em malha quadriculada, usando análise combinatória e o princípio da complementaridade.
Observando a figura, adotamos A = (0, 0) como origem. As posições são: A = (0, 0), C = (2, 2) e B = (4, 3).
O número de caminhos entre dois pontos em uma malha, movendo-se apenas para a direita (→) ou para cima (↑), é dado pela combinação:
C(m+n,\, m)
onde m é o número de deslocamentos para a direita e n é o número de deslocamentos para cima.Passo 1 — Total de caminhos de A até B (sem restrição):
São 4 movimentos à direita e 3 para cima, totalizando 7 movimentos:
C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35
Passo 2 — Caminhos de A até B que passam por C:
De A até C (2 direita, 2 cima): C(4, 2) = 6
De C até B (2 direita, 1 cima): C(3, 2) = 3
Total passando por C: 6 \times 3 = 18
Passo 3 — Caminhos que NÃO passam por C:
35 - 18 = 17
O número total sem restrição (35) é um distrator que induz o erro de ignorar a condição de não passar por C. A resposta correta é 17.
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