Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado:
Q(t)=Q_0\cdot2^{-\frac{t}{5730}}
em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi
A questão avalia a interpretação e aplicação de uma função exponencial para determinar a idade de fósseis por meio da datação por carbono-14.
A fórmula dada é Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-t/5730}. Para encontrar a idade t de cada fóssil, isolamos o expoente usando a razão \frac{Q(t)}{Q_0} = 2^{-t/5730}. Quanto menor essa razão, maior o tempo decorrido e, portanto, mais antigo é o fóssil.
Calculando a razão \frac{Q(t)}{Q_0} para cada fóssil e identificando a potência de 2:
Fóssil 1: \dfrac{32}{128} = \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \Rightarrow t = 2 \times 5730 = 11\,460 anos
Fóssil 2: \dfrac{8}{256} = \dfrac{1}{32} = 2^{-5} \Rightarrow t = 5 \times 5730 = 28\,650 anos
Fóssil 3: \dfrac{64}{512} = \dfrac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow t = 3 \times 5730 = 17\,190 anos
Fóssil 4: \dfrac{512}{1024} = \dfrac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow t = 1 \times 5730 = 5\,730 anos
Fóssil 5: \dfrac{128}{2048} = \dfrac{1}{16} = 2^{-4} \Rightarrow t = 4 \times 5730 = 22\,920 anos
O fóssil 2 apresenta a maior idade (28\,650 anos), sendo portanto o mais antigo encontrado na expedição.
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