O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
\left(\frac{1}{2}\right)^{100}
\left(\frac{1}{2}\right)^{99}
— Gabarito (resposta correta)\left(\frac{1}{2}\right)^{97}
\left(\frac{1}{2}\right)^{-98}
\left(\frac{1}{2}\right)^{-99}
Esta questão avalia progressão geométrica (PG) e o reconhecimento de padrões de sequências recursivas.
Observando a figura, o primeiro quadrado tem lado l_1 = 1. O segundo quadrado tem lado igual à metade do anterior: l_2 = \frac{1}{2}. O terceiro tem l_3 = \frac{1}{4}. Portanto, os lados formam uma progressão geométrica de primeiro termo a_1 = 1 e razão q = \frac{1}{2}.
O termo geral de uma PG é dado por
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
Para o centésimo quadrado (n = 100):
a_{100} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{99} = \left(\frac{1}{2}\right)^{99}
As alternativas com expoentes diferentes de 99 resultam de erros ao aplicar a fórmula do termo geral — por exemplo, confundir n com n-1 no expoente, ou inverter a base da potência (expoentes negativos indicariam crescimento, não redução). A resposta correta é \left(\frac{1}{2}\right)^{99}.
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