Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
\frac{9!}{2}
\frac{4!\,5!}{2}
— Gabarito (resposta correta)Este problema avalia análise combinatória, especificamente permutações com elementos repetidos e restrições de posição.
A frase \"I AM POTTER\", sem espaços, forma a sequência de 9 letras: I, A, M, P, O, T, T, E, R.
Separando por tipo: vogais → I, A, O, E (4 vogais, todas distintas) e consoantes → M, P, T, T, R (5 consoantes, com T repetido duas vezes).
Para que vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas em 9 posições, a única disposição estrutural possível é começar com consoante:
C\,V\,C\,V\,C\,V\,C\,V\,C
Começar com vogal exigiria 5 vogais e 4 consoantes, o que não temos — portanto há apenas um padrão possível.
O número de maneiras de arranjar as 5 consoantes (com T repetido) nas posições ímpares é:
\frac{5!}{2!} = \frac{5!}{2}
O número de maneiras de arranjar as 4 vogais (todas distintas) nas posições pares é:
4!
Pelo princípio multiplicativo, o total de anagramas é:
\frac{5!}{2!} \times 4! = \frac{4!\,5!}{2}
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