O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?
Esta questão avalia o conceito de média aritmética, exigindo que o aluno manipule algebricamente a definição de média para encontrar o valor desejado.
A média aritmética de um conjunto de valores é dada por:
\\bar{x} = \\frac{\\text{soma dos valores}}{\\text{quantidade de valores}}
Passo 1 — Soma total original: O time tem 15 jogadores com média de 1,93 m, então a soma das estaturas é:
S = 15 \\times 1{,}93 = 28{,}95 \\text{ m}
Passo 2 — Remoção dos 4 jogadores mais baixos: A soma das estaturas removidas é:
1{,}78 + 1{,}82 + 1{,}84 + 1{,}86 = 7{,}30 \\text{ m}
Soma dos 11 jogadores restantes:28{,}95 - 7{,}30 = 21{,}65 \\text{ m}
Passo 3 — Contratação do primeiro novo jogador (2,02 m):
21{,}65 + 2{,}02 = 23{,}67 \\text{ m}
O time passa a ter 12 jogadores.Passo 4 — Soma necessária para atingir a meta: Com os 3 novos jogadores, o time voltará a ter 15. Para que a média seja no mínimo 1,99 m:
15 \\times 1{,}99 = 29{,}85 \\text{ m}
Portanto, a soma das estaturas dos 3 novos contratados deve ser:29{,}85 - 23{,}67 = 6{,}18 \\text{ m}
Passo 5 — Média mínima dos 3 jogadores:
\\bar{x} = \\frac{6{,}18}{3} = 2{,}06 \\text{ m}
A média mínima a ser fixada para os três novos jogadores é 2,06 m.
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