Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
\frac{1}{2}
\frac{1}{3}
\frac{1}{9}
— Gabarito (resposta correta)\frac{2}{3}
\frac{4}{3}
Este problema envolve razão e proporção aplicadas à distribuição de cotas societárias.
As participações iniciais são proporcionais a 4, 6 e 6. O capital total equivale a 16 partes: Antônio possui 4, Joaquim 6 e José 6.
Seja f a fração do capital de cada um dos outros sócios que Antônio irá adquirir. Como Joaquim e José têm a mesma participação, Antônio compra a mesma fração f de cada um.
Após a transação, as participações ficam:
Antônio: 4 + f \cdot 6 + f \cdot 6 = 4 + 12f
Joaquim: 6 - f \cdot 6 = 6(1 - f)
José: 6 - f \cdot 6 = 6(1 - f)
Para que as participações sejam iguais, basta igualar Antônio a Joaquim:
4 + 12f = 6(1 - f)
4 + 12f = 6 - 6f
18f = 2
f = \frac{1}{9}
Verificação: cada sócio fica com \frac{16}{3} partes — participações iguais. A fração que Antônio deve adquirir do capital de cada sócio é \dfrac{1}{9}.
As demais opções resultam de erros de montagem da equação: usar o capital total em vez do capital individual de cada sócio, ou não considerar que a aquisição ocorre de ambos os sócios simultaneamente.
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