Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.
Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura.
Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos:
1 – Triângulo retângulo isósceles;
2 – Triângulo equilátero;
3 – Quadrado.
Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato
Esta questão avalia geometria plana, especificamente o preenchimento de espaços gerados pelo encaixe de octógonos regulares em um painel retangular.
O ângulo interno de um octógono regular é dado por \frac{(8-2) \times 180°}{8} = 135°. Quando dois octógonos se encontram diagonalmente, deixam um espaço entre si. A soma dos dois ângulos dos octógonos em torno desse espaço é 135° + 135° = 270°, logo o espaço restante até fechar os 360° é 360° - 270° = 90°. Esse espaço de quatro ângulos retos é exatamente um quadrado (formato 3), que aparece nas regiões internas do painel onde quatro octógonos se tocam diagonalmente.
Nas bordas laterais do painel, o retângulo corta esses espaços ao meio: cada quadrado interno é dividido por uma diagonal, resultando em triângulos retângulos isósceles (formato 1), com ângulos de 45°, 45° e 90°.
O triângulo equilátero (formato 2) possui ângulos internos de 60°, o que é incompatível com os espaços formados pela tesselação de octógonos regulares — nenhum vértice ou borda do painel gera ângulos de 60°. Portanto, esse formato não serve para preencher os espaços em branco.
Os 15 espaços em branco do painel são preenchidos exclusivamente com quadrados (internos) e triângulos retângulos isósceles (nas bordas).
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