No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
Esta questão avalia o uso do Teorema de Pitágoras em um contexto tridimensional envolvendo um cone.
O síndico utiliza 20 mangueiras de mesmo comprimento, que partem do topo do poste (a 3 m de altura) até 20 pontos igualmente espaçados na circunferência no chão. O comprimento total usado é exatamente 100 m, portanto o comprimento de cada mangueira é:
\ell = \frac{100}{20} = 5 \text{ m}
Cada mangueira representa a geratriz do cone, ou seja, o segmento que vai do vértice (topo) até um ponto na base. O poste tem altura h = 3 m e o raio da circunferência é r. Como o poste é perpendicular ao plano do chão, o triângulo formado pelo raio, pela altura e pela geratriz é retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
\ell^2 = h^2 + r^2
5^2 = 3^2 + r^2
25 = 9 + r^2
r^2 = 16 \implies r = 4 \text{ m}
Portanto, o raio da circunferência de fixação deverá ser de 4,00 m. As demais alternativas resultariam de erros como não dividir o comprimento total pelo número de mangueiras antes de aplicar Pitágoras, ou inverter os papéis da geratriz e da altura.
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