Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
Esta questão avalia trigonometria aplicada à geometria, especificamente o uso da tangente para calcular projeções de sombra.
A configuração do pergolado é a seguinte: vigas paralelas com vãos de 30 cm entre elas, e altura h a ser determinada. Os raios do sol incidem num plano perpendicular à direção das vigas.
Ao meio-dia, o sol está a pino (raios verticais), então toda a largura do vão — os 30 cm — permite a passagem de luz.
No sol da tarde, os raios fazem 30° com a vertical. Cada viga projeta uma sombra horizontal sobre o vão adjacente. Pela trigonometria, a extensão horizontal dessa sombra é h \cdot \tan(30°).
A condição do projeto exige que a luz que passa seja metade da do meio-dia, ou seja, 15 cm do vão deve ficar iluminado. Portanto, a sombra projetada deve cobrir exatamente os outros 15 cm:
h \cdot \tan(30°) = 15
h \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 15
h = 15\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3} \approx 25{,}98 \text{ cm}
O valor mais próximo de 15\sqrt{3} \approx 26 cm é, portanto, 26 cm. As outras opções resultariam em proporções de luz diferentes: valores menores (9, 15) deixariam passar mais da metade, e valores maiores (52, 60) bloqueariam mais do que a metade, contradizendo a proposta do arquiteto.
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