O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é
A questão pede o gráfico da arrecadação em função do desconto aplicado ao preço do ingresso. Sendo x o valor do desconto (em R$), temos:
Preço do ingresso: 20 - x
Número de espectadores: 200 + 40x
A arrecadação total é o produto dessas duas expressões:
A(x) = (20 - x)(200 + 40x)
Expandindo:
A(x) = 4000 + 800x - 200x - 40x^2 = -40x^2 + 600x + 4000
Essa é uma função quadrática com coeficiente líder negativo (-40), logo sua parábola é voltada para baixo, com um ponto de máximo.
O vértice ocorre em x = \dfrac{-600}{2 \cdot (-40)} = 7{,}5, mostrando que a arrecadação cresce, atinge um máximo próximo de x = 7 ou x = 8 (ambos dão A = R\$\,6240) e depois decresce.
O detalhe crucial é que o enunciado exige valores inteiros de ingresso, ou seja, x \in \{0, 1, 2, \ldots\}. Por isso, o gráfico correto deve exibir pontos discretos (e não uma curva contínua), dispostos em forma de parábola com abertura para baixo.
O gráfico que mostra pontos isolados seguindo esse perfil — subindo até um máximo ao redor de x = 7{,}5 e depois decrescendo — é exatamente o da alternativa correta. Os demais erram por mostrar funções lineares, crescimento sem máximo, curva contínua (sem distinguir o caráter discreto do domínio) ou comportamento decrescente desde o início.
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