Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo △ e estrela ★, definidas sobre o conjunto dos números reais por x \triangle y = x^2 + xy - y^2 e x \star y = xy + x. O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a \triangle b) \star (b \triangle a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
\sqrt{5}
\sqrt{3}
\sqrt{1}
\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
\frac{3+\sqrt{5}}{2}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o domínio de operações definidas e resolução de equações polinomiais, exigindo substituição cuidadosa e fatoração.
Com b = 1, calculamos cada expressão separadamente. Definindo P = a \triangle b e Q = b \triangle a:
P = a \triangle 1 = a^2 + a \cdot 1 - 1^2 = a^2 + a - 1
Q = 1 \triangle a = 1^2 + 1 \cdot a - a^2 = 1 + a - a^2
Pela definição de \star: x \star y = xy + x = x(y+1), portanto:
(a \triangle b) \star (b \triangle a) = P \cdot (Q + 1) = 0
Caso 1: P = 0
a^2 + a - 1 = 0 \implies a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
Caso 2: Q + 1 = 0
1 + a - a^2 + 1 = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0 \implies (a-2)(a+1) = 0 \implies a = 2 \text{ ou } a = -1
As quatro soluções em ordem decrescente são: 2,\ \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618,\ -1,\ \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1{,}618.
A soma das duas maiores soluções é:
2 + \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}
Portanto, o valor recebido pelo navio receptor é \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.
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