Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando atualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10 kg por coelho, com um desvio padrão de 1 kg, alimentado com essa ração durante um período de três meses.
O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou com a nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de 1,5 kg para a distribuição das massas dos coelhos dessa amostra.
Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por CV = \dfrac{s}{\overline{x}}, em que s representa o desvio padrão e \overline{x}, a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração.
O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual.
A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilograma, for superior a
Esta questão avalia o conceito de coeficiente de variação (CV), uma medida relativa de dispersão que permite comparar a variabilidade de distribuições com médias diferentes.
O coeficiente de variação é definido por CV = \\dfrac{s}{\\overline{x}}, onde s é o desvio padrão e \\overline{x} é a média.
Calculando o CV da ração atual:
CV_{\\text{atual}} = \\dfrac{s_{\\text{atual}}}{\\overline{x}_{\\text{atual}}} = \\dfrac{1}{10} = 0{,}1
Condição para substituição: A nova ração será adotada se CV_{\\text{nova}} < CV_{\\text{atual}}, ou seja:
\\dfrac{s_{\\text{nova}}}{\\overline{x}_{\\text{nova}}} < 0{,}1
Substituindo s_{\\text{nova}} = 1{,}5:
\\dfrac{1{,}5}{\\overline{x}} < 0{,}1
Multiplicando ambos os lados por \\overline{x} (positivo) e isolando a variável:
1{,}5 < 0{,}1 \\cdot \\overline{x} \\implies \\overline{x} > \\dfrac{1{,}5}{0{,}1} \\implies \\overline{x} > 15
Portanto, a substituição ocorrerá somente se a média das massas dos coelhos alimentados com a nova ração for superior a 15 kg. Note que, mesmo com desvio padrão maior, a nova ração pode ser mais consistente relativamente à sua própria média, desde que essa média seja suficientemente alta.
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