O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, \frac{1}{2} de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \frac{9}{10}. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
Esta questão avalia probabilidade complementar e resolução de inequação exponencial.
A probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada é a probabilidade de acertar pelo menos um dardo. O caminho mais simples é usar o complementar: pontuar é o evento contrário a errar todos os dardos.
Se o jogador lança n dardos, cada um com probabilidade \frac{1}{2} de acertar, a probabilidade de errar todos é \left(\frac{1}{2}\right)^n. Portanto:
P(\text{pontuar}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n
Queremos que essa probabilidade seja igual ou superior a \frac{9}{10}:
1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq \frac{9}{10}
Isolando a potência:
\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}
Testando valores inteiros de n:
n = 3: \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125 > \frac{1}{10} — não satisfaz
n = 4: \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0{,}0625 < \frac{1}{10} — satisfaz!
Com 4 dardos, a probabilidade de pontuar é 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \approx 93{,}75\% \geq 90\%.
A quantidade mínima de dardos é, portanto, 4.
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