Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação \varphi^2 = \varphi + 1.
Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma a\varphi + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é
5\varphi + 3
7\varphi + 2
9\varphi + 6
11\varphi + 7
13\varphi + 8
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o uso da relação fundamental da proporção áurea para simplificar potências de φ de forma recursiva.
A propriedade central é que φ satisfaz a equação \varphi^2 = \varphi + 1. Isso permite substituir qualquer potência de φ por uma expressão linear da forma a\varphi + b.
O processo é iterativo: multiplica-se a expressão anterior por φ e usa-se \varphi^2 = \varphi + 1 para eliminar potências maiores que 1. A tabela do enunciado já fornece:
\varphi^5 = 5\varphi + 3 \qquad \varphi^6 = 8\varphi + 5
Para obter \varphi^7, multiplica-se \varphi^6 por φ:
\varphi^7 = \varphi \cdot \varphi^6 = \varphi(8\varphi + 5) = 8\varphi^2 + 5\varphi
Substituindo \varphi^2 = \varphi + 1:
8(\varphi + 1) + 5\varphi = 8\varphi + 8 + 5\varphi = 13\varphi + 8
Portanto, \varphi^7 = 13\varphi + 8.
Nota: os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… — tanto para a quanto para b em potências consecutivas, o que evidencia a conexão profunda entre a razão áurea e essa sequência.
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