Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais da mesma corda para fixar uma tábua a uma barra horizontal. Por segurança, opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja 25% superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições:
• O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a 90°;
• Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de 24 kg.
Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular uniforme, considera que a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s2 e despreza forças dissipativas.
Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?
Esta questão avalia a aplicação conjunta de conservação de energia mecânica e dinâmica do movimento circular.
Encontrando a velocidade no ponto mais baixo:
O balanço parte do repouso com ângulo de 90° em relação à vertical, ou seja, a tábua está na mesma altura da barra de fixação. A queda em altura até o ponto mais baixo é igual ao comprimento L da corda. Pela conservação de energia (sem forças dissipativas):
mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow mgL = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v^2 = 2gL
Calculando a tensão resultante no ponto mais baixo:
No ponto mais baixo, a resultante das forças aponta para o centro (para cima), fornecendo a força centrípeta:
T_{total} - mg = \frac{mv^2}{L}
Substituindo v^2 = 2gL:
T_{total} = mg + \frac{m \cdot 2gL}{L} = mg + 2mg = 3mg
T_{total} = 3 \times 24 \times 10 = 720 \text{ N}
Tensão em cada segmento de corda:
Como o balanço é sustentado por dois segmentos paralelos e iguais, a carga é dividida igualmente:
T_{segmento} = \frac{720}{2} = 360 \text{ N}
Tensão de ruptura com fator de segurança de 25%:
T_{ruptura} = 1{,}25 \times 360 = 450 \text{ N}
Portanto, a tensão de ruptura da corda escolhida é 450 N.
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