Em uma universidade, atuam professores que estão enquadrados funcionalmente pela sua maior titulação: mestre ou doutor. Nela há, atualmente, 60 mestres e 40 doutores. Os salários mensais dos professores mestres e dos doutores são, respectivamente, R$ 8 000,00 e R$ 12 000,00.
A diretoria da instituição pretende proporcionar um aumento salarial diferenciado para o ano seguinte, de tal forma que o salário médio mensal dos professores dessa instituição não ultrapasse R$ 12 240,00. A universidade já estabeleceu que o aumento salarial será de 25% para os mestres e precisa ainda definir o percentual de reajuste para os doutores.
Mantido o número atual de professores com suas atuais titulações, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo,
Esta questão avalia o conceito de média ponderada combinado com porcentagem de aumento.
A instituição possui 60 mestres e 40 doutores, totalizando 100 professores. O salário médio atual é:
\bar{x} = \frac{60 \times 8000 + 40 \times 12000}{100} = \frac{480000 + 480000}{100} = R\$\ 9600
Após o reajuste, o salário dos mestres passa a ser 8000 \times 1{,}25 = R\$\ 10000. Seja p o percentual de aumento dos doutores. O novo salário dos doutores será 12000 \times \left(1 + \dfrac{p}{100}\right).
A condição imposta é que o novo salário médio não ultrapasse R$ 12.240,00:
\frac{60 \times 10000 + 40 \times 12000 \times \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)}{100} \leq 12240
Multiplicando ambos os lados por 100:
600000 + 480000 \times \left(1 + \frac{p}{100}\right) \leq 1224000
480000 \times \left(1 + \frac{p}{100}\right) \leq 624000
1 + \frac{p}{100} \leq \frac{624000}{480000} = 1{,}3
\frac{p}{100} \leq 0{,}3 \implies p \leq 30
Portanto, o aumento máximo a ser concedido aos doutores é de 30%. As alternativas com valores maiores (como 37,5%) fariam o salário médio superar o limite estabelecido; as menores (14,4%, 20,7%, 22,0%) seriam desnecessariamente restritivas ao máximo permitido.
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