Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:
• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.
O modelo escolhido deve ser o
O conceito avaliado é o volume do cilindro reto, dado por V = Ab × h, onde Ab é a área da base e h é a profundidade (altura).
O modelo I tem volume VI = Ab · P.
Para comparar os demais, é fundamental notar que dobrar o raio quadruplica a área da base, pois A = \pi r^2 e \pi(2r)^2 = 4\pi r^2.
Modelo II — dobro da profundidade e metade da área da base:
V_{II} = \frac{A_b}{2} \cdot 2P = A_b P
Modelo III — dobro da profundidade e metade do raio (base fica com \frac{1}{4} da área):
V_{III} = \frac{A_b}{4} \cdot 2P = \frac{A_b P}{2}
Modelo IV — metade da profundidade e dobro da área da base:
V_{IV} = 2A_b \cdot \frac{P}{2} = A_b P
Modelo V — metade da profundidade e dobro do raio (base fica com 4A_b):
V_V = 4A_b \cdot \frac{P}{2} = 2A_b P
Comparando: V_{III} < V_I = V_{II} = V_{IV} < V_V. O modelo V possui o dobro do volume do modelo I, sendo o de maior capacidade volumétrica.
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