O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
Esta questão avalia o princípio da reflexão aplicado à minimização de distâncias geométricas.
Da figura, as coordenadas são: Cidade A = (15, 40) e Cidade B = (50, 20), com a Rodovia 003 sobre o eixo x. Queremos encontrar o ponto P = (x, 0) sobre o eixo x que minimize a soma das distâncias AP + PB.
Princípio da reflexão: reflete-se um dos pontos em relação ao eixo x. Refletindo B = (50, 20), obtemos B' = (50, −20). A soma AP + PB = AP + PB' é mínima quando P está sobre o segmento de reta \overline{AB'}, pois a linha reta é o menor caminho entre dois pontos.
Equação da reta de A(15, 40) a B'(50, −20):
m = \frac{-20 - 40}{50 - 15} = \frac{-60}{35} = -\frac{12}{7}
Equação da reta:
y - 40 = -\frac{12}{7}(x - 15)
Para encontrar P, fazemos y = 0:
0 - 40 = -\frac{12}{7}(x - 15) \implies x - 15 = \frac{40 \times 7}{12} = \frac{70}{3} \implies x = 15 + \frac{70}{3} = \frac{115}{3} \approx 38{,}3 \text{ km}
O ponto ótimo está em x \approx 38{,}3 km sobre a Rodovia 003. Entre as localizações sugeridas na figura, o ponto IV (em torno de x = 40 km) é o mais próximo desse valor, resultando na menor soma de distâncias entre as duas cidades pelo ponto de conexão. Os demais pontos (I, II, III e V) estão mais afastados do ponto ótimo e, portanto, geram percursos totais maiores.
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