Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.
Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.
Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a
Esta questão avalia o conceito de volume do cone circular reto e a aplicação de redução percentual em grandezas geométricas.
A fórmula do volume de um cone é:
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
O cone original tem diâmetro de 8 cm, portanto raio r = 4 cm, e altura h = 10 cm. Seu volume é:
V_{\text{original}} = \frac{1}{3}\pi (4)^2 \cdot 10 = \frac{160\pi}{3}
O novo chocolate terá um volume 19% menor, ou seja, corresponde a 81% do volume original:
V_{\text{novo}} = 0{,}81 \cdot V_{\text{original}}
Como a altura permanece igual a 10 cm, aplicamos a fórmula ao novo cone com raio r_{\text{novo}}:
\frac{1}{3}\pi r_{\text{novo}}^2 \cdot 10 = 0{,}81 \cdot \frac{1}{3}\pi (4)^2 \cdot 10
Simplificando os termos comuns \frac{1}{3}\pi \cdot 10 dos dois lados:
r_{\text{novo}}^2 = 0{,}81 \cdot 16 = 12{,}96
Extraindo a raiz quadrada:
r_{\text{novo}} = \sqrt{12{,}96} = \sqrt{0{,}81} \cdot \sqrt{16} = 0{,}9 \cdot 4 = 3{,}6 \text{ cm}
Uma observação importante: ao reduzir o volume em 19% mantendo a altura fixa, o raio é multiplicado por \sqrt{0{,}81} = 0{,}9, e não por 0{,}81 — erro comum que levaria a respostas incorretas. O raio da base do novo chocolate é, portanto, 3,60 cm.
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