Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.
Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.
De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
9 \times \frac{6!}{(6-2)!}
9 \times \frac{6!}{(6-2)! \times 2!}
— Gabarito (resposta correta)9 \times \frac{4!}{(4-2)! \times 2!}
9 \times \frac{2!}{(2-2)! \times 2!}
9 \times \left(\frac{8!}{(8-2)! \times 2!} - 1\right)
Esta questão avalia análise combinatória, especificamente a aplicação de combinações simples com um critério de seleção.
Identificando os apartamentos válidos por andar:
A condição é que ambos os apartamentos escolhidos tenham pelo menos um quarto com sol pela manhã. Isso exclui apenas os apartamentos que terminam em 7 ou 8 (ambos os quartos só recebem sol à tarde).
Portanto, os apartamentos que satisfazem a condição são os que terminam em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 — ou seja, 6 apartamentos por andar.
Calculando as combinações:
A pessoa quer escolher 2 apartamentos dentre esses 6, sem importar a ordem (não é uma permutação). O número de maneiras de escolher 2 elementos de um conjunto de 6 é dado pela combinação:
C(6,2) = \frac{6!}{(6-2)!\cdot 2!}
Como o prédio tem 9 andares e a escolha deve ser feita dentro de um mesmo andar, multiplica-se pelo número de andares:
\text{Total} = 9 \times \frac{6!}{(6-2)!\cdot 2!}
Por que as outras opções estão erradas:
A opção que usa \frac{6!}{(6-2)!} representa uma permutação (arranjo), onde a ordem importa — mas aqui estamos escolhendo apartamentos para comprar, e a ordem não importa. A opção com C(4,2) considera apenas 4 apartamentos válidos, esquecendo os que terminam em 1 e 2. A opção com C(8,2) - 1 parte de todos os 8 apartamentos do andar e tenta excluir algo, mas o raciocínio não corresponde ao critério do problema.
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