A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre \frac{1}{2}.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
\frac{35}{64}
\frac{40}{64}
\frac{42}{64}
— Gabarito (resposta correta)\frac{44}{64}
\frac{52}{64}
Esta questão avalia probabilidade combinatória aplicada a séries de jogos com número variável de partidas.
Após o time A vencer o primeiro jogo, ele precisa de mais 3 vitórias para ser campeão, enquanto o time B precisa de 4 vitórias. A série termina assim que um dos times atingir esse número.
Para calcular a probabilidade, contamos os casos em que A completa a 4.ª vitória (3.ª após o jogo 1) em cada rodada possível. Em cada caso, o último jogo obrigatoriamente é uma vitória de A, e as vitórias de B ficam distribuídas nos jogos anteriores.
A ganha na 4.ª partida total (3 jogos após o 1.º): A vence os 3 seguintes — \binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}
A ganha na 5.ª partida total (4 jogos após o 1.º): nos 3 jogos anteriores ao decisivo, B venceu exatamente 1 — \binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{3}{16} = \frac{12}{64}
A ganha na 6.ª partida total (5 jogos após o 1.º): nos 4 jogos anteriores, B venceu exatamente 2 — \binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{6}{32} = \frac{12}{64}
A ganha na 7.ª partida total (6 jogos após o 1.º): nos 5 jogos anteriores, B venceu exatamente 3 — \binom{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{10}{64}
Somando todas as probabilidades:
\frac{8}{64} + \frac{12}{64} + \frac{12}{64} + \frac{10}{64} = \frac{42}{64}
Portanto, a probabilidade de o time que venceu o primeiro jogo ser campeão é \dfrac{42}{64}.
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