Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
Este problema avalia sistemas de equações lineares e divisibilidade.
Passo 1 — Encontrar o comprimento dos circuitos.
Sejam M o comprimento do circuito maior e m o do menor. As informações do primeiro dia formam o sistema:
\begin{cases} 3M + 2m = 1800 \\ 2M + m = 1100 \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da primeira: 3M + 2m - (4M + 2m) = 1800 - 2200, ou seja, -M = -400, logo M = 400\,\text{m}. Substituindo: m = 1100 - 2(400) = 300\,\text{m}.
Passo 2 — Maximizar o número de voltas no segundo dia.
Queremos inteiros a \geq 0 e b \geq 0 tais que 400a + 300b = 5000, maximizando a + b.
Dividindo por 100: 4a + 3b = 50.
Para maximizar a + b convém priorizar o circuito menor (mais voltas por metro). Isolando: b = \dfrac{50 - 4a}{3}. Para que b seja inteiro não-negativo, precisamos 50 - 4a \equiv 0 \pmod{3}, o que impõe a \equiv 2 \pmod{3}.
Os valores válidos são:
a = 2 \Rightarrow b = 14 \Rightarrow a+b = 16
a = 5 \Rightarrow b = 10 \Rightarrow a+b = 15
a = 8 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow a+b = 14
a = 11 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a+b = 13
O máximo é \boxed{16}, obtido com 2 voltas no circuito maior e 14 no menor.
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