Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.
O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.
A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é
\frac{1}{46} + \frac{1}{45}
\frac{1}{46} + \frac{2}{46 \times 45}
\frac{1}{46} + \frac{8}{46 \times 45}
\frac{1}{46} + \frac{43}{46 \times 45}
\frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia probabilidade condicional e contagem de eventos favoráveis ao longo de rodadas sequenciais.
Após as 4 primeiras rodadas, Pedro marcou os números 03, 48, 27 e 07 em sua cartela. Analisando as combinações vencedoras possíveis:
Linha 1: 03✓, 48✓, 12, 27✓ → falta apenas o número 12.
Coluna 4: 27✓, 05, 45, 07✓ → faltam dois números: 05 e 45.
Diagonal principal: 03✓, 11, 19, 07✓ → faltam dois números: 11 e 19.
Restam 50 - 4 = 46 números para sorteio.
Probabilidade de Pedro ganhar na 5ª rodada: somente o número 12 completa uma combinação vencedora com apenas 1 sorteio. Logo:
P(\text{ganhar na 5ª}) = \frac{1}{46}
Probabilidade de Pedro ganhar na 6ª rodada (sem ter ganho na 5ª): a 5ª rodada não sorteou 12, restando 45 números para a 6ª.
Analisa-se o que acontece conforme o resultado da 5ª rodada:
Se a 5ª rodada sortear 05 ou 45: a coluna 4 fica com apenas 1 número pendente, e a 6ª rodada tem 2 saídas vencedoras (12 ou o número faltante da coluna). São 4 casos assim (05, 45, 11, 19), cada um com \frac{1}{45} de chance dentro do universo de não-ganho na 5ª.
Se a 5ª rodada sortear qualquer um dos outros 45 - 4 = 41 números: a 6ª rodada tem apenas 1 saída vencedora (o 12).
Portanto, a probabilidade condicional de ganhar na 6ª dado que não ganhou na 5ª é:
P(\text{ganhar na 6ª} \mid \text{não ganhou na 5ª}) = \frac{4}{45} \cdot \frac{2}{45} + \frac{41}{45} \cdot \frac{1}{45} = \frac{8 + 41}{45^2} = \frac{49}{45^2}
A probabilidade de ganhar na 6ª rodada e não ter ganho na 5ª é:
P = \frac{45}{46} \times \frac{49}{45^2} = \frac{49}{46 \times 45}
Somando as duas probabilidades:
P(\text{ganhar na 5ª ou 6ª}) = \frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}
As demais alternativas erram ao subestimar os eventos favoráveis na 6ª rodada — por exemplo, considerar apenas o número 12 como saída vencedora (1 caso), ou somar apenas os casos das combinações de 2 números sem contabilizar corretamente todos os cenários (8 casos das duplas + 41 casos do 12 = 49 casos).
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