Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:
• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.
O projeto que o casal deverá escolher será o
Esta questão avalia o cálculo de área de superfície de um paralelepípedo reto retângulo, com a restrição de volume fixo.
A piscina possui fundo e quatro paredes laterais revestidos (sem tampa). Chamando de p a profundidade, l o comprimento e w a largura, a área de revestimento é:
A = w \cdot l + 2(p \cdot l) + 2(p \cdot w)
Calculando para cada projeto (todos com volume V = p \cdot w \cdot l = 90\,\text{m}^3, pois 90\,000\,\text{L} = 90\,\text{m}^3):
Projeto I — p=1{,}8, w=2{,}0, l=25{,}0:
A = (2{,}0 \times 25{,}0) + 2(1{,}8 \times 25{,}0) + 2(1{,}8 \times 2{,}0) = 50 + 90 + 7{,}2 = 147{,}2\,\text{m}^2
Projeto II — p=2{,}0, w=5{,}0, l=9{,}0:
A = (5{,}0 \times 9{,}0) + 2(2{,}0 \times 9{,}0) + 2(2{,}0 \times 5{,}0) = 45 + 36 + 20 = 101\,\text{m}^2
Projeto III — p=1{,}0, w=6{,}0, l=15{,}0:
A = (6{,}0 \times 15{,}0) + 2(1{,}0 \times 15{,}0) + 2(1{,}0 \times 6{,}0) = 90 + 30 + 12 = 132\,\text{m}^2
Projeto IV — p=1{,}5, w=15{,}0, l=4{,}0:
A = (15{,}0 \times 4{,}0) + 2(1{,}5 \times 4{,}0) + 2(1{,}5 \times 15{,}0) = 60 + 12 + 45 = 117\,\text{m}^2
Projeto V — p=2{,}5, w=3{,}0, l=12{,}0:
A = (3{,}0 \times 12{,}0) + 2(2{,}5 \times 12{,}0) + 2(2{,}5 \times 3{,}0) = 36 + 60 + 15 = 111\,\text{m}^2
Comparando: 101 < 111 < 117 < 132 < 147{,}2. O Projeto II apresenta a menor área de revestimento, 101\,\text{m}^2, sendo a escolha correta do casal.
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