Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = −t2 + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
• I: 1 ≤ t ≤ 2;
• II: 3 ≤ t ≤ 4;
• III: 5 ≤ t ≤ 6;
• IV: 7 ≤ t ≤ 9;
• V: 10 ≤ t ≤ 12.
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
Esta questão avalia o conceito de vértice de uma função quadrática e sua aplicação em contextos reais.
A função que modela a quantidade de infectados é p(t) = -t^2 + 10t + 24, uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de t^2 negativo), o que garante a existência de um ponto de máximo.
O valor de t que maximiza p(t) é dado pela abscissa do vértice da parábola:
t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5
Portanto, o mês com a maior quantidade de infectados é o mês t = 5, com:
p(5) = -(5)^2 + 10(5) + 24 = -25 + 50 + 24 = 49 \text{ pessoas}
Analisando as propostas, o valor t = 5 está contido no intervalo 5 \leq t \leq 6, que corresponde à proposta III. As demais propostas englobam intervalos que não incluem o mês de pico da epidemia: as propostas I e II ficam antes do pico (meses 1 a 4), enquanto as propostas IV e V ficam após o pico (meses 7 a 12), quando a quantidade de infectados já está em queda.
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