O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
• opção I: h = 11 m e α = 30°
• opção II: h = 12 m e α = 45°
• opção III: h = 18 m e α = 60°
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
\frac{22\sqrt{3}}{3}
11\sqrt{2}
12\sqrt{2}
— Gabarito (resposta correta)12\sqrt{3}
A questão avalia o uso de trigonometria no triângulo retângulo para calcular o comprimento de um cabo que forma um ângulo \\alpha com o solo, sabendo a altura h do ponto de fixação.
No triângulo retângulo formado pelo cabo, pelo mastro e pelo chão, o cabo é a hipotenusa, a altura h é o cateto oposto ao ângulo \\alpha. Portanto:
\\sin(\\alpha) = \\frac{h}{L} \\implies L = \\frac{h}{\\sin(\\alpha)}
Calculando L para cada opção:
Opção I — h = 11\\text{ m},\\ \\alpha = 30°:
L = \\frac{11}{\\sin 30°} = \\frac{11}{\\tfrac{1}{2}} = 22\\text{ m}
Opção II — h = 12\\text{ m},\\ \\alpha = 45°:
L = \\frac{12}{\\sin 45°} = \\frac{12}{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{24}{\\sqrt{2}} = 12\\sqrt{2} \\approx 16{,}97\\text{ m}
Opção III — h = 18\\text{ m},\\ \\alpha = 60°:
L = \\frac{18}{\\sin 60°} = \\frac{18}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = 12\\sqrt{3} \\approx 20{,}78\\text{ m}
Comparando: 12\\sqrt{2} < 12\\sqrt{3} < 22. A opção II fornece o menor comprimento, sendo L = 12\\sqrt{2}\\text{ m}.
Um erro comum é confundir o ângulo com o plano do solo com o ângulo com a vertical, o que levaria a usar \\cos\ em vez de \\sin, produzindo resultados incorretos para cada opção.
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