Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
O conceito central desta questão é a relação entre a lei dos cossenos e as áreas de círculos cujos diâmetros formam os lados de um triângulo.
Se os diâmetros das três pizzas são a (professor) e b, c (amigos), a área de cada pizza circular é proporcional ao quadrado do seu diâmetro:
A = \frac{\pi d^2}{4}
Portanto, a área da pizza do professor é maior do que a soma das áreas dos amigos se e somente se a^2 > b^2 + c^2.O professor formou um triângulo com os três diâmetros. O ângulo \alpha é o ângulo interior do triângulo oposto ao lado a (diâmetro do professor). Pela lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)
Para que a^2 > b^2 + c^2, é necessário que:-2bc\cos(\alpha) > 0 \implies \cos(\alpha) < 0 \implies \alpha > 90°
Como \alpha é ângulo interno de um triângulo, vale 0° < \alpha < 180°, logo a condição é 90° < \alpha < 180°.Quando \alpha = 90°, o triângulo é retângulo e as áreas seriam iguais (caso do teorema de Pitágoras ilustrado na figura). Quando \alpha < 90°, o triângulo é acutângulo e a^2 < b^2 + c^2, ou seja, a pizza do professor seria menor. Somente com \alpha obtuso a pizza do professor é maior.
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