O gerente de uma fábrica pretende comparar a evolução das vendas de dois produtos similares (I e II). Para isso, passou a verificar o número de unidades vendidas de cada um desses produtos em cada mês. Os resultados dessa verificação, para os meses de abril a junho, são apresentados na tabela.
O gerente estava decidido a cessar a produção do produto II no mês seguinte àquele em que as vendas do produto I superassem as do produto II.
Suponha que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela.
Em qual mês o produto II parou de ser produzido?
Esta questão avalia a identificação e aplicação de progressões aritméticas para modelar situações do cotidiano.
Com base na tabela, é possível identificar a variação mensal de cada produto:
Produto I: abril = 80, maio = 90, junho = 100 → razão r_I = +10 unidades/mês.
Produto II: abril = 190, maio = 170, junho = 150 → razão r_{II} = -20 unidades/mês.
Usando junho (mês 0) como referência e m como o número de meses após junho, as vendas podem ser expressas como:
I(m) = 100 + 10m
II(m) = 150 - 20m
Queremos o primeiro mês em que o Produto I supera o Produto II:
100 + 10m > 150 - 20m
30m > 50
m > \frac{5}{3} \approx 1{,}67
Como m deve ser inteiro, o primeiro valor é m = 2, ou seja, agosto. Confirmando:
I(2) = 120 \quad \text{e} \quad II(2) = 110
As vendas do Produto I superam as do Produto II pela primeira vez em agosto. Como o gerente cessa a produção no mês seguinte ao da superação, a produção do Produto II é encerrada em setembro.
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