Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q1 representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q2, Q3, Q4, Q5 e Q6 também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q1 tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Qn, n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, cujo ângulo AQnB tenha a mesma medida do ângulo α = AQ1B.
Qual é o jogador que receberá a bola?
Q2
Q3
— Gabarito (resposta correta)Q4
Q5
Q6
Este problema avalia o Teorema do Ângulo Inscrito, que estabelece: todos os pontos de um mesmo arco de círculo que enxergam uma corda de mesmo ângulo inscrito estão sobre um único círculo.
Formalmente, dado um segmento AB (a trave), se dois pontos P e Q estão do mesmo lado de AB e satisfazem \angle APB = \angle AQB, então A, P, Q e B são concíclicos — ou seja, pertencem ao mesmo círculo.
Na figura, as circunferências tracejadas representam os lugares geométricos dos pontos que enxergam o segmento AB sob um mesmo ângulo. O jogador Q₁ está sobre uma dessas circunferências e forma o ângulo \alpha = \angle AQ_1B.
Para encontrar o jogador Qₙ tal que \angle AQ_nB = \alpha, basta identificar qual deles está sobre a mesma circunferência que Q₁. Observando a imagem, o jogador Q₃ é o único que pertence ao mesmo arco de circunferência que Q₁, garantindo assim que \angle AQ_3B = \angle AQ_1B = \alpha.
Os demais jogadores (Q₂, Q₄, Q₅ e Q₆) estão em circunferências diferentes — algumas menores, outras maiores — e portanto enxergam a trave AB sob ângulos distintos de α.
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