O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
Esta questão avalia o conceito de progressão aritmética (PA) combinado com raciocínio combinatório aplicado ao triângulo mágico.
O triângulo possui 6 círculos: 3 nos vértices e 3 nas arestas (um por lado). Cada lado do triângulo é formado por 2 vértices e 1 aresta, logo a soma dos três lados conta cada vértice duas vezes e cada aresta uma vez:
3S = (1+2+3+4+5+6) + V = 21 + V
onde S é a soma por lado e V é a soma dos três vértices.
Passo 1 — Identificar as PAs com razão 2 nos números de 1 a 6:
\{1, 3, 5\} com soma V = 9, e \{2, 4, 6\} com soma V = 12.
Passo 2 — Calcular S em cada caso:
Se os vértices são \{1, 3, 5\}:
3S = 21 + 9 = 30 \Rightarrow S = 10
Se os vértices são \{2, 4, 6\}:
3S = 21 + 12 = 33 \Rightarrow S = 11
Passo 3 — Verificar que cada caso é realizável:
Com vértices 1, 5, 3 e arestas de \{2, 4, 6\}: 1+4+5=10, 5+2+3=10, 3+6+1=10 ✓
Com vértices 2, 4, 6 e arestas de \{1, 3, 5\}: 2+5+4=11, 4+1+6=11, 6+3+2=11 ✓
Portanto, há exatamente duas soluções possíveis: uma com soma S = 10 e outra com soma S = 11.
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