Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.
O oitavo número pentagonal é
Esta questão avalia a capacidade de identificar e generalizar padrões numéricos, especificamente os números figurados pentagonais.
A imagem mostra os seis primeiros números pentagonais: 1, 5, 12, 22, 35 e 51. Para encontrar o oitavo, observe as diferenças entre termos consecutivos:
5 - 1 = 4, \quad 12 - 5 = 7, \quad 22 - 12 = 10, \quad 35 - 22 = 13, \quad 51 - 35 = 16
As diferenças formam uma progressão aritmética de razão 3: 4, 7, 10, 13, 16, \ldots A diferença entre o n-ésimo e o (n-1)-ésimo termo é 3n - 2.
Portanto:
7º número pentagonal: 51 + 19 = 70
8º número pentagonal: 70 + 22 = \mathbf{92}
Isso pode ser confirmado pela fórmula geral do n-ésimo número pentagonal:
P(n) = \frac{n(3n-1)}{2}
Para n = 8:
P(8) = \frac{8 \cdot (24 - 1)}{2} = \frac{8 \cdot 23}{2} = \frac{184}{2} = 92
Os demais valores obtidos pela fórmula (59, 83, 86, 89) não correspondem a nenhum número pentagonal gerado pelo padrão geométrico descrito.
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