Um pescador tem um custo fixo diário de R$ 900,00 com combustível, iscas, manutenção de seu barco e outras pequenas despesas. Ele vende cada quilograma de peixe por R$ 5,00. Sua meta é obter um lucro mínimo de R$ 800,00 por dia. Sozinho, ele consegue, ao final de um dia de trabalho, pescar 180 kg de peixe, o que é suficiente apenas para cobrir o custo fixo diário. Portanto, precisa contratar ajudantes, pagando para cada um R$ 250,00 por dia de trabalho. Além desse valor, 4% da receita obtida pela venda de peixe é repartida igualmente entre os ajudantes. Considerando o tamanho de seu barco, ele pode contratar até 5 ajudantes. Ele sabe que com um ajudante a pesca diária é de 300 kg e que, a partir do segundo ajudante contratado, aumenta-se em 100 kg a quantidade de peixe pescada por ajudante em um dia de trabalho.
A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é
Esta questão avalia a capacidade de modelar uma situação de otimização financeira por meio de uma função de lucro, combinando progressão aritmética para a produção e inequações para encontrar o mínimo desejado.
Modelando a quantidade de peixe por número de ajudantes n:
Para n = 0: 180 kg. Para n = 1: 300 kg (dado diretamente). A partir do segundo ajudante, cada um acrescenta 100 kg à pesca total. Assim:
Q(n) = \begin{cases} 300, & n = 1 \\ 300 + 100(n-1), & n \geq 2 \end{cases}
Ou seja: Q(1)=300, Q(2)=400, Q(3)=500, Q(4)=600, Q(5)=700 kg.
Modelando o lucro do pescador:
A receita é R = 5 \cdot Q(n). Os custos são: custo fixo de R$ 900,00, salários de 250n reais, e 4% da receita repassada aos ajudantes (0{,}04 \cdot R). Portanto:
L(n) = R - 0{,}04R - 900 - 250n = 0{,}96 \cdot 5 \cdot Q(n) - 900 - 250n
L(n) = 4{,}8 \cdot Q(n) - 900 - 250n
Calculando o lucro para cada valor de n:
Com n=1: L = 4{,}8 \times 300 - 900 - 250 = 1440 - 1150 = \textbf{R\$ 290,00} — insuficiente.
Com n=2: L = 4{,}8 \times 400 - 900 - 500 = 1920 - 1400 = \textbf{R\$ 520,00} — insuficiente.
Com n=3: L = 4{,}8 \times 500 - 900 - 750 = 2400 - 1650 = \textbf{R\$ 750,00} — insuficiente.
Com n=4: L = 4{,}8 \times 600 - 900 - 1000 = 2880 - 1900 = \textbf{R\$ 980,00} — superior a R$ 800,00.
A quantidade mínima de ajudantes necessária para atingir o lucro de pelo menos R$ 800,00 por dia é, portanto, 4 ajudantes.
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