Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.
Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
Esta questão avalia análise combinatória aplicada à probabilidade. A probabilidade de descobrir uma senha ao acaso na primeira tentativa é o inverso do total de senhas possíveis daquele tipo — quanto mais senhas possíveis, menor a probabilidade de acertar.
O total de caracteres disponíveis é 10 + 26 + 26 + 6 = 68.
Tipo I — 4 caracteres distintos quaisquer, em qualquer ordem (arranjo de 68 tomados 4 a 4):
A_{68}^4 = 68 \times 67 \times 66 \times 65 = 19\,545\,240
Tipo II — estrutura fixada: 3 letras (de 52) + 1 algarismo (de 10) + 1 especial (de 6), todos distintos:
A_{52}^3 \times 10 \times 6 = (52 \times 51 \times 50) \times 10 \times 6 = 132\,600 \times 60 = 7\,956\,000
Tipo III — estrutura fixada: 2 letras (de 52) + 2 algarismos (de 10) + 2 especiais (de 6), todos distintos:
A_{52}^2 \times A_{10}^2 \times A_6^2 = (52 \times 51) \times (10 \times 9) \times (6 \times 5) = 2\,652 \times 90 \times 30 = 7\,160\,400
Comparando os denominadores: 19\,545\,240 > 7\,956\,000 > 7\,160\,400, logo p_1 < p_2 < p_3.
O tipo I possui o maior número de senhas possíveis e, consequentemente, a menor probabilidade de ser descoberto ao acaso. O tipo III tem mais caracteres que o tipo II, mas a estrutura restritiva (apenas 2 letras, de um total de 52, versus 3 letras no tipo II) reduz drasticamente o espaço amostral.
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