Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
\frac{1}{50}\text{ e }\frac{1}{60}
— Gabarito (resposta correta)\frac{1}{50}\text{ e }\frac{1}{50}
\frac{1}{50}\text{ e }\frac{1}{10}
\frac{1}{55}\text{ e }\frac{1}{54}
\frac{1}{100}\text{ e }\frac{1}{100}
Esta questão avalia probabilidade condicional e a regra da multiplicação em espaços amostrais dinâmicos — a segunda urna muda conforme o resultado da primeira.
O sorteio ocorre em duas etapas independentes condicionadas: primeiro o algarismo das unidades (primeira urna, bolas de 0 a 9) e depois o algarismo das dezenas (segunda urna, composta apenas pelas bolas que formam um número válido de 01 a 55 com o dígito já sorteado).
Candidato 50 (unidades = 0, dezenas = 5):
A probabilidade de sortear o dígito 0 na primeira urna é \frac{1}{10}. Os números de 01 a 55 que terminam em 0 são: 10, 20, 30, 40 e 50 — exatamente 5 números. Assim, a segunda urna terá 5 bolas (representando as dezenas 1, 2, 3, 4 e 5), e a probabilidade de sortear a bola 5 é \frac{1}{5}. Pela regra da multiplicação:
P(50) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{50}
Candidato 02 (unidades = 2, dezenas = 0):
A probabilidade de sortear o dígito 2 na primeira urna é \frac{1}{10}. Os números de 01 a 55 que terminam em 2 são: 02, 12, 22, 32, 42 e 52 — exatamente 6 números. A segunda urna terá 6 bolas (dezenas 0, 1, 2, 3, 4 e 5), e a probabilidade de sortear a bola 0 é \frac{1}{6}. Portanto:
P(02) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{60}
O ponto central da questão é perceber que a segunda urna não é fixa: ela depende do dígito sorteado na primeira etapa, fazendo com que os candidatos tenham probabilidades diferentes de serem contemplados. O número 50 compete com apenas 4 outros candidatos na segunda etapa, enquanto o número 02 compete com 5 outros, o que resulta em probabilidades distintas: \frac{1}{50} e \frac{1}{60}, respectivamente.
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