Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
Esta questão avalia o cálculo de volume de sólidos de revolução (cone, tronco de cone e cilindro) combinado com densidade de massa.
Etapa 1 — Geometria do tronco de cone. O cone original tem altura H = 36 cm e raio da base R = 9 cm. O cone menor removido tem raio r = 3 cm. Por semelhança de triângulos, sua altura é:
\frac{h}{H} = \frac{r}{R} \implies h = 36 \cdot \frac{3}{9} = 12 \text{ cm}
Portanto, o tronco de cone tem altura h_t = 36 - 12 = 24 cm, raio maior R = 9 cm e raio menor r = 3 cm.
Etapa 2 — Volume do tronco de cone. Usando a fórmula:
V_{\text{tronco}} = \frac{\pi \, h_t}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{3 \cdot 24}{3}(81 + 27 + 9) = 24 \cdot 117 = 2808 \text{ cm}^3
Etapa 3 — Volume do cilindro removido. O cilindro tem raio r_c = 3 cm e altura h_t = 24 cm:
V_{\text{cilindro}} = \pi r_c^2 \, h_t = 3 \cdot 9 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3
Etapa 4 — Volume da escultura.
V = 2808 - 648 = 2160 \text{ cm}^3
Etapa 5 — Massa.
m = V \cdot \rho = 2160 \times 0{,}6 = \mathbf{1\,296{,}0 \text{ g}}
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