Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
Esta questão avalia probabilidade de eventos independentes e resolução de inequações.
A probabilidade de um cliente ganhar o voucher é o produto das probabilidades de retirar bola preta em cada urna, pois os eventos são independentes:
P(\text{ganhar}) = P(\text{preta em A}) \times P(\text{preta em B})
A probabilidade na urna A permanece fixa em 20\% = \frac{1}{5}. A nova condição exige:
\frac{1}{5} \times P(\text{preta em B}) \leq 1\% = \frac{1}{100}
P(\text{preta em B}) \leq \frac{1}{100} \div \frac{1}{5} = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}
A urna B tem 4 bolas pretas. Sendo b o total de bolas brancas em B após a alteração:
\frac{4}{4 + b} \leq \frac{1}{20}
80 \leq 4 + b \implies b \geq 76
Portanto, a urna B deve ter ao menos 76 bolas brancas. Como originalmente P(\text{preta em B}) = 25\% = \frac{4}{16}, havia 12 bolas brancas. O número mínimo a adicionar é:
76 - 12 = 64 \text{ bolinhas brancas}
Verificação: Com 64 adicionadas, B fica com 4 pretas e 76 brancas (80 total). P = \frac{4}{80} = \frac{1}{20} = 5\%, e \frac{1}{5} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{100} = 1\% \leq 1\% ✓
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