Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.
A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
\dfrac{7!}{4!} \times \dfrac{6!}{4!}
\dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}
\dfrac{7!}{3! \times 4!} + \dfrac{6!}{2! \times 4!} + \dfrac{5!}{1! \times 4!}
\left(\dfrac{7!}{3! \times 4!} + \dfrac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\dfrac{7!}{4! \times 3!} + \dfrac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\dfrac{7!}{5! \times 2!} + \dfrac{6!}{0! \times 6!}\right)
\left(\dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\dfrac{7!}{4! \times 3!} \times \dfrac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\dfrac{7!}{5! \times 2!} \times \dfrac{6!}{0! \times 6!}\right)
— Gabarito (resposta correta)Esta questão avalia o conceito de análise combinatória, especificamente a aplicação de combinações com restrições e o princípio aditivo da contagem.
A condição \"pelo menos 3 cardiologistas\" em uma equipe de 5 médicos gera três casos mutuamente exclusivos que devem ser somados:
Caso 1: exatamente 3 cardiologistas e 2 neurologistas.
Escolhem-se 3 entre os 7 cardiologistas e 2 entre os 6 neurologistas:
\binom{7}{3} \times \binom{6}{2} = \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}
Caso 2: exatamente 4 cardiologistas e 1 neurologista.
Escolhem-se 4 entre os 7 e 1 entre os 6:
\binom{7}{4} \times \binom{6}{1} = \frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}
Caso 3: exatamente 5 cardiologistas e 0 neurologistas.
Escolhem-se 5 entre os 7 e 0 entre os 6:
\binom{7}{5} \times \binom{6}{0} = \frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}
Como os três casos são disjuntos, o total é a soma dos três produtos, representada pela expressão:
\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)
Note que multiplicar apenas um dos casos (sem somar os demais) ignora as outras composições possíveis. Somar os termos sem multiplicar dentro de cada caso confunde a aplicação simultânea do princípio multiplicativo com o aditivo.
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